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カテゴリー「数学」の記事

2018年4月23日 (月)

超準的な自然数が必ずある集合論でBool値モデルとかやってみる

追記: 恥を晒すこともなかろうと一旦記事非公開にしましたが、「己の過ちをなかったことにするのは日本人の悪い癖だから、そのままにしておくべき」という意見をいただいたので復活させます。

以前、ZFまたはZFCに公理を追加してωに必ず超準的な自然数が存在するという条件をつけられることがわかった。とはいえ、これは超準解析の入門書の最初の方に出てくる話を集合論の言葉に置き換えただけなので、自明の話である。

言語として、2項関係記号∈と、定数記号νを持つとし、公理系としては

ZFC

に次の可算無限個の公理を付け加える。

Λω: ν∈ω

Λ(0): 0∈ν

Λ(1): 0+1∈ν

Λ(2):0+1+1∈ν

Λ(3):0+1+1+1∈ν

・・・

これは公理図式の形ではないが、帰納的に定義された公理系の条件は満たしている。

定数0、ωなどは書き換えることで∈のみの論理式で表すことも容易である。

この追加された閉論理式の集まりをΛとすると、たとえばZFC +Λは、ωに超準的な自然数νが必ずあるという条件がついたZFCとなる。

このような公理系を考えた理由は、こうすると、基礎の公理があるにもかかわらず、

ν∋ν-1∋ν-2∋ν-3∋・・・

という降下列は有限回で終わることはない、というパラドックスを作るためであった。特に大した話ではない。体系の外から見た場合と中から見た場合の区別をつければよい。

集合論においてMが集合論のモデルと言った場合に、普通はMの所属関係はV={x|x=x}の∈をM×Mに制限したもの(∈モデル)にする。(さらに推移的の条件をつけるのが普通)。

∈モデルでは、ωに超準元を持つことはできない。・・・が、まったく不可能というわけでもなさそうである。
別に何か数学に新しいものを追加する、などという気はないが、自分のための頭の体操としてZFC+Λにおいて強制法(Bool値モデル)を考えてみる。

ひとつの考え方は、強制法で「可算で推移的なモデルM」と言う時は、実は前提となる公理系の十分多くの有限個の公理を満たすモデルを言っていることだ。

Λが病的になるのはすべてを満たすモデルを考える場合なので、有限個の公理を満たすだけならばνは(十分大きな)自然数のひとつにすぎない。これは議論に影響を与えないのでΛは無視できる。

もうひとつの考え方として、Vが最初から超準的な自然数を持っている場合を考えることだ。

そこで、Vが満たす集合論としてZFC+Λを採用してみる。V |= ZFC+Λ。

Λと強制法の話は別の話なので本質的には議論は変わらない筈だが、何か病的なことが出てくるかもしれない。

ひとつ注意すべきことは、Vには「本物でない」有限が必ず含まれることが「保障」されることである。もしかしたら、体系の外から見たら非可算無限個の自然数があるかもしれない。

あと、本物の論理式をVの中にコード化するときの問題がある。ZFC+Λをコード化するとV内ではνは自然数のひとつにすぎないのでΛ(ν)の公理(これは本物の公理ではない)が含まれる。これは0に+1を「ν回」適用した項がνの元であるということを意味する。ところが自然数の加法の再帰的定義によりこれは、ν∈νと同等となる。これは基礎の公理と矛盾するので、ZFC+Λをコード化するとV内では「この体系は矛盾している」という結果が出ることを意味する。(これはZFC+Λが矛盾していることを証明はしない。実際、ZFCが無矛盾ならばZFC+Λも無矛盾である)。

基礎の公理があるため、集合の∈無限降下列は存在しない。必ず有限回のうちに空集合で終わる。・・・が、この「有限回」は本物の有限とは限らない。Vの中の自然数回である。従って、体系の外から見ると、無限∈降下列のように見える場合があることが保障される。

言語に定数記号νが入っているので、論理式の絶対性の定義が影響する。νを含まない論理式については問題ないが、含む場合はνはV内のνと同じとしなければならなくなる(ここら辺がこの公理系の美しくないところである。νは存在すれば無数にある無限大自然数のひとつにすぎないので、これを定数記号でひとつ特別扱いするというのは実に美しくない。こういうことは後で面倒を引き起こすことが多い)。

Bool値モデルを考えてみる。

cBa(完備ブール代数)Bに対し、B-name全体V^B の構成の仕方は同じ。ただし、注意すべきことはωの中にνという無限大自然数が入っているため、順序数全体のクラスOnの構造は普通に期待されるものと変わっていることである。

問題になりそうな定理がひとつ見つかった。

定理。MをZFC+Λの十分に多くの有限個の公理を満たす推移的な可算∈モデルとする。このとき、任意の半順序集合P∈Mに対してP-genericが存在する。

この定理は成り立つか?

この定理の中の「有限個」は本物の有限である。外から見ても有限でなければならない。しかし、可算モデルの「可算」はどうか?MはV内にあるので、この「可算」は可算濃度の集合という意味になる。ところが、体系の外から見たら非可算無限個の自然数がVにあるかもしれないのである。しかし、体系の外でも可算でないと証明に困る。

このことは、普通のブール値モデルの議論においても暗黙のうちに、ωの元を列挙した場合、体系の外側から見ても可算個の元があることを仮定していることを示している。暗黙の了解がひとつ見つかった。

まあ、ZFC+Λにおいてもωの元を外から見ても可算個にすることは不可能ではない(筈)なので、その仮定があれば問題はない。ただし、この場合、νの元を体系の外側から見た場合は可算無限個の元があることになる。

追記:これは私の勘違いだ(おそらく)。この定理の証明は集合論の中で行われるので、可算無限集合が体系の外から見てどう見えるか?は関係ない。通常の議論を集合論の中で行えば問題ない(たぶん)。そもそも、いわゆる有限の立場で「本物の可算無限」など言うのはナンセンスである。このような議論をどうしてもしたければ、超準解析の手法のように、標準的な集合論と超準的な集合論を同じ土俵に置いて、相互の関係がどうなっているか?を考察できるような枠組みを作ることが必要である。まだ、「超数学的議論」の意味が私にはわかっていない。

非可算無限個の自然数があった場合はどうなるか? ちょっと考える。

もしかしたら続くかもしれないし、続かないかもしれない。

こういうことは集合論の超準的な話と標準的な話をすり合わせてはじめてほんの少しでも面白い結果が出るものだから超準的なものだけをにらんでもまず大した話にはならないだろう。

たとえばνは本物の自然数をすべて含む。通常のブール値モデルの話では、たとえば標準的なω×ωの有限部分集合から2への写像全体からなる順序集合を考えるなどをする。しかし、νは標準的なωをすべて含むのでν×νから2への部分写像はこれを含むはずである。しかし、超準的なZFC+Λではνは有限順序数なので体系内では単なる有限ブール代数になり自明な結果になりそうだ。これを標準的な体系から見たら何が起こるか?とかをできたら確かめてみたい。

2016年3月25日 (金)

佐野千遥教授による、実数論の間違い、に関する質問の解答

ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派数理物理学最高責任者:Dr佐野千遥教授のブログで、実数論が間違い(従って、確率論や多体問題、などなども間違い)という趣旨の記載があったので、コメントでその意味を質問しました。
その解答記事がアップされたので、その内容に関するコメントを書かせていただきました。

「極限とは何か?」などの話だと延々と不毛な議論が続くだけでしょうし、レーヴェンハイム・スコーレムの定理などの話までしてしまうと、話がややこしくなり過ぎて意味がなくなるし。ここら辺の話は難しいですよね(。_。;  数学を知ってる方なら問題点はすぐに分かると思いますが。
以下、コメント内容:
----
どうも、私の質問にここまで丁寧にご解答くださりありがとうございました。
(twitter のHN のutubyou009 で質問させていただきましたが、同一人物である証明はできません。そこはご容赦ください)。
少々気になったことがありますので(もしかしたら、ケアレスミスがないか?という疑問を感じましたので)、少々意見を述べさせていただいてよろしいでしょうか。

ゲーデルの不完全性定理が扱うのは(自然数論が扱える程強力で)帰納的公理化可能な理論についてです。これは、適当な形式化を行えば、コンピュータで公理から得られる定理をすべて列挙できる、という性質を持っています。もちろん定理は無限個ありますから無限の時間が必要ですが。これは各定理のゲーデル数を考えれば、まさに再帰的数え上げ可能ということです。
今、問題になっていることは実数体の連続性の公理に関することですが、これは一階で表せるか?など煩雑なので、集合論で考えます。集合論の公理系はZFCが有名です(別にこれでなければいけない、ということはないですが)。これは一階述語論理で帰納的公理化可能な理論なので、便利ですし、当然実数全体の集合Rも含まれます。

本論に入る前に。帰納的公理化されるためには、使える記号は何かをはっきりと決め、論理式の長さ(文字数)は有限でなければなりません。

ここ、おかしいですよね? (どうも、ここがおかしい?と突っ込む人が少ないようで、少々がっかりしています) 無限小数というのは、数字を無限個並べたものですから、これを表に出すのはルール違反ではないか? 長さが有限にならないですから。
(続く)
--------
(続き)
そもそも「無限小数」とはいったい何か? 例えば、2.2360679… という無限小数は (a_n): 2, 2.2, 2.23, 2.236, 2.2360, 2.23067, 2.2360679,... という数列の極限値として定義されます(無限級数の和とする定義もありますが同値です)。各項は有限小数(従って、有理数)なので有限個の文字で表せる・・・と思ったら、「数列」自身が無限列なのでやはりおかしい。

そこでどうやってこれを有限の長さで表現するか。無限小数の小数点より左は有限個の文字で表せる(整数と見てもよい)ですからいいとして。小数点以下は、N1を正の整数全体の集合としたとき、「N1 から {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} への関数」全体の集合Fを考えればよいことが分かります。ちなみに、f∈Fのとき、f(n) は「小数点以下n桁目の数字」を表します。「〜から〜への関数」もそういう関数全体の集合も有限の長さの式で表せます。従って、無限小数全体の集合はZを整数全体とするとき Z✖F と考えることができます。これは実数そのものではなく実数の「表記法」ですから実数に翻訳する関数 Z✖F → R が必要ですが、これも有限の長さの式で書けます。さらにこれは全射(2つの表記法が同じ実数を表すかもしれないが、どんな実数もこれで表現できて漏れはない)。これで、無限小数の表記法の正当性が出てきます。
ちなみに、実数の数列全体の集合は N1からRへの関数全体のこと、とすればこれも有限の長さの式で書けます。
無限小数の正当性があるとしても、これを表(おもて)に出すのはどういうことか(表に出さなければ不便で仕方がないが)。これは、ZFCにRの元を表す定数記号(つまり無限小数)を追加したものと考えるのが自然です。各無限小数表記をひとつの記号とみなす、とも言えます。これは非可算無限個ありますから、これを追加したらゲーデル数のつくりようがない。しかし、数学だろうが何だろうが、実際に無限小数を直接書いた論文は存在しません。書くためには無限ページ必要ですから。概数を書くとか3.14... とかでごまかすか、何か別の方法で定義された実数を使うとか、πなどの記号で表すかなどなどです。ですからこれは基本的に表に無限小数が出てこない形に書き直せます。
(続き)
------
(続く2)
そこで、本論に入ります。
>root (5) = 2.2360679…. に最も近い実数をxとします。このxに∆x → 0のように、無限に接近する事は可能ですか?
root(5)はひとつの実数ですから、「もっとも近い実数」なるものは存在せず、x=root(5) でかまいません。それで無限に接近することは可能か? というと先ほど示した数列 (a_n) はroot(5)に無限に近づきます。
この極限の意味に関してはε-δ論法などを参照してください。

>再帰的数え上げ可能でなく
は、少々早合点です。というのは、root(5) は各桁を列挙していく手続き、つまりコンピュータで計算可能なので再帰的数え上げ可能と見なせます。((a_n) の項が列挙できる、ということと、nに対して小数点以下n桁目の数字を計算できることは同じです。全部数え上げるのは無限の時間がかかりますが、個々のnに対してa_nを計算するときはどんなに長くとも有限ステップで答えが出ないといけませんが)。
このような実数を計算可能実数と呼びます。
円周率πもコンピュータで計算できるので計算可能実数です。
計算可能実数ならば、コンピュータのプログラムは有限のメモリに入れられますので、最悪でも「このプログラムで計算できる実数だ!」と言えば、何とか有限の長さの式で表すことができます。ということは、無限個の数字を並べるなどという「表記不可能な『表記法』」を使わなくても何とかなるということです。
従って、有理数だけでなく計算可能実数の内、扱いやすいもの(扱いにくいものがあるので)も議論に加えてもよいと思います。
(続く)
------
(続き3)
問題は。「計算可能実数でない実数はあるか?」です。
実は、そういう実数は存在します。というか、計算可能でない実数の方が多数派です。
計算可能でない実数を無限小数で表そうとしても、それを列挙するコンピュータプログラムを作ることができないわけです。つまり、まさに再帰的数え上げ不可能なのです。言い換えれば、値は存在するが値を「計算する方法」は存在しない、という感じでしょうか。これは、無限小数のような特殊な表記法が必要になります。

>実数には附番することが出来ない
これは事実です。従って、Rは非可算無限集合である、と言われます。可算は附番することができる意味で、非可算はそれができないことです。

そして「計算可能実数でない実数が存在する」という定理(実際は非常に複雑だが有限の長さの形式的論理式)は、帰納的公理化可能なZFCから列挙可能である、というところがポイントです(実際は定義やら何やら沢山出てきますが本質的には列挙可能です)。

簡単に書くと「「再帰的数え上げ不可能な実数が存在する」という定理は再帰的数え上げ可能である」ということです。
で、この二つは論ずるレベルが異るので矛盾ではない、となります。

もっとも、私は数学者でも何でもないのでこのコメントに間違いが含まれているかもしれませんが。
----(完了)
以下は、佐野千遥教授による実数論の誤謬の部分の引用です。
−−−−(引用開始)
数学基礎論のゲーデルの不完全性定理の解釈については、色々と哲学的な説明をしている本が出版されていますが、ゲーデルの不完全性定理の証明の中枢はrecursively enumerable(再帰的数え上げ可能性)の概念に基づいています。

結論から先に申しますと、この「再帰的数え上げ可能性」に基づくと、連続実数なるものの数学的存在が証明できなくなります。

例えば、微積分学に於いて、微小差分を0に近付ける極限の概念を
lim の下に ∆x → 0
と書いて表しますが、ここでxはどんな連続実数値でも構わない事に成っています。

つまりどんな連続実数値をもった実数であろうと、必ずその値に無限に接近する事が出来る事を前提にしてしまっています。

ところで、果たして本当に必ず如何なる連続実数値にも無限に接近する事が出来るのでしょうか?

例えば、root (5) = 2.2360679…. に最も近い実数をxとします。このxに∆x → 0のように、無限に接近する事は可能ですか?

答は当然「否」ですね。

つ まり有理数でないから、循環小数ではなく、つまり再帰的数え上げ可能でなく、小数点以下で数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中のどれが次に出 て来るかは、予測が付かない問題が生じます。x軸の数直線上には所狭しとゴッチャ混ぜに“連続実数”なるものが犇(ひし)めき合っているので、連続実数に は附番することが出来ない分けです。

ゲーデルはこのように「無限」の概念をもっと厳密に扱わねばならない事を数学会に厳重に警告している のであって、ゲーデルの不完全性定理に基づき、連続実数なる数は存在証明が出来ない事となり、連続実数なる数は数学者の頭の中にだけ有って、実際の数学の 世界には存在しない数という事となります。

依って更に、この存在しない連続実数に基づいて築かれた確率論と微積分学とは、色々数学分野が有る中で、誤った数学分野という事になります。

その結果更に、この誤った数学の確率論と微積分を大幅に取り入れたカッコ付「正統派」現代物理学や経済学が、大混乱の誤謬“科学”に陥るのは理の当然となります。
----(引用終了)
・・・ はあ、疲れた。