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数学

2016年3月25日 (金)

佐野千遥教授による、実数論の間違い、に関する質問の解答

ロシア科学アカデミー・スミルノフ物理学派数理物理学最高責任者:Dr佐野千遥教授のブログで、実数論が間違い(従って、確率論や多体問題、などなども間違い)という趣旨の記載があったので、コメントでその意味を質問しました。
その解答記事がアップされたので、その内容に関するコメントを書かせていただきました。

「極限とは何か?」などの話だと延々と不毛な議論が続くだけでしょうし、レーヴェンハイム・スコーレムの定理などの話までしてしまうと、話がややこしくなり過ぎて意味がなくなるし。ここら辺の話は難しいですよね(。_。;  数学を知ってる方なら問題点はすぐに分かると思いますが。
以下、コメント内容:
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どうも、私の質問にここまで丁寧にご解答くださりありがとうございました。
(twitter のHN のutubyou009 で質問させていただきましたが、同一人物である証明はできません。そこはご容赦ください)。
少々気になったことがありますので(もしかしたら、ケアレスミスがないか?という疑問を感じましたので)、少々意見を述べさせていただいてよろしいでしょうか。

ゲーデルの不完全性定理が扱うのは(自然数論が扱える程強力で)帰納的公理化可能な理論についてです。これは、適当な形式化を行えば、コンピュータで公理から得られる定理をすべて列挙できる、という性質を持っています。もちろん定理は無限個ありますから無限の時間が必要ですが。これは各定理のゲーデル数を考えれば、まさに再帰的数え上げ可能ということです。
今、問題になっていることは実数体の連続性の公理に関することですが、これは一階で表せるか?など煩雑なので、集合論で考えます。集合論の公理系はZFCが有名です(別にこれでなければいけない、ということはないですが)。これは一階述語論理で帰納的公理化可能な理論なので、便利ですし、当然実数全体の集合Rも含まれます。

本論に入る前に。帰納的公理化されるためには、使える記号は何かをはっきりと決め、論理式の長さ(文字数)は有限でなければなりません。

ここ、おかしいですよね? (どうも、ここがおかしい?と突っ込む人が少ないようで、少々がっかりしています) 無限小数というのは、数字を無限個並べたものですから、これを表に出すのはルール違反ではないか? 長さが有限にならないですから。
(続く)
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(続き)
そもそも「無限小数」とはいったい何か? 例えば、2.2360679… という無限小数は (a_n): 2, 2.2, 2.23, 2.236, 2.2360, 2.23067, 2.2360679,... という数列の極限値として定義されます(無限級数の和とする定義もありますが同値です)。各項は有限小数(従って、有理数)なので有限個の文字で表せる・・・と思ったら、「数列」自身が無限列なのでやはりおかしい。

そこでどうやってこれを有限の長さで表現するか。無限小数の小数点より左は有限個の文字で表せる(整数と見てもよい)ですからいいとして。小数点以下は、N1を正の整数全体の集合としたとき、「N1 から {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} への関数」全体の集合Fを考えればよいことが分かります。ちなみに、f∈Fのとき、f(n) は「小数点以下n桁目の数字」を表します。「〜から〜への関数」もそういう関数全体の集合も有限の長さの式で表せます。従って、無限小数全体の集合はZを整数全体とするとき Z✖F と考えることができます。これは実数そのものではなく実数の「表記法」ですから実数に翻訳する関数 Z✖F → R が必要ですが、これも有限の長さの式で書けます。さらにこれは全射(2つの表記法が同じ実数を表すかもしれないが、どんな実数もこれで表現できて漏れはない)。これで、無限小数の表記法の正当性が出てきます。
ちなみに、実数の数列全体の集合は N1からRへの関数全体のこと、とすればこれも有限の長さの式で書けます。
無限小数の正当性があるとしても、これを表(おもて)に出すのはどういうことか(表に出さなければ不便で仕方がないが)。これは、ZFCにRの元を表す定数記号(つまり無限小数)を追加したものと考えるのが自然です。各無限小数表記をひとつの記号とみなす、とも言えます。これは非可算無限個ありますから、これを追加したらゲーデル数のつくりようがない。しかし、数学だろうが何だろうが、実際に無限小数を直接書いた論文は存在しません。書くためには無限ページ必要ですから。概数を書くとか3.14... とかでごまかすか、何か別の方法で定義された実数を使うとか、πなどの記号で表すかなどなどです。ですからこれは基本的に表に無限小数が出てこない形に書き直せます。
(続き)
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(続く2)
そこで、本論に入ります。
>root (5) = 2.2360679…. に最も近い実数をxとします。このxに∆x → 0のように、無限に接近する事は可能ですか?
root(5)はひとつの実数ですから、「もっとも近い実数」なるものは存在せず、x=root(5) でかまいません。それで無限に接近することは可能か? というと先ほど示した数列 (a_n) はroot(5)に無限に近づきます。
この極限の意味に関してはε-δ論法などを参照してください。

>再帰的数え上げ可能でなく
は、少々早合点です。というのは、root(5) は各桁を列挙していく手続き、つまりコンピュータで計算可能なので再帰的数え上げ可能と見なせます。((a_n) の項が列挙できる、ということと、nに対して小数点以下n桁目の数字を計算できることは同じです。全部数え上げるのは無限の時間がかかりますが、個々のnに対してa_nを計算するときはどんなに長くとも有限ステップで答えが出ないといけませんが)。
このような実数を計算可能実数と呼びます。
円周率πもコンピュータで計算できるので計算可能実数です。
計算可能実数ならば、コンピュータのプログラムは有限のメモリに入れられますので、最悪でも「このプログラムで計算できる実数だ!」と言えば、何とか有限の長さの式で表すことができます。ということは、無限個の数字を並べるなどという「表記不可能な『表記法』」を使わなくても何とかなるということです。
従って、有理数だけでなく計算可能実数の内、扱いやすいもの(扱いにくいものがあるので)も議論に加えてもよいと思います。
(続く)
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(続き3)
問題は。「計算可能実数でない実数はあるか?」です。
実は、そういう実数は存在します。というか、計算可能でない実数の方が多数派です。
計算可能でない実数を無限小数で表そうとしても、それを列挙するコンピュータプログラムを作ることができないわけです。つまり、まさに再帰的数え上げ不可能なのです。言い換えれば、値は存在するが値を「計算する方法」は存在しない、という感じでしょうか。これは、無限小数のような特殊な表記法が必要になります。

>実数には附番することが出来ない
これは事実です。従って、Rは非可算無限集合である、と言われます。可算は附番することができる意味で、非可算はそれができないことです。

そして「計算可能実数でない実数が存在する」という定理(実際は非常に複雑だが有限の長さの形式的論理式)は、帰納的公理化可能なZFCから列挙可能である、というところがポイントです(実際は定義やら何やら沢山出てきますが本質的には列挙可能です)。

簡単に書くと「「再帰的数え上げ不可能な実数が存在する」という定理は再帰的数え上げ可能である」ということです。
で、この二つは論ずるレベルが異るので矛盾ではない、となります。

もっとも、私は数学者でも何でもないのでこのコメントに間違いが含まれているかもしれませんが。
----(完了)
以下は、佐野千遥教授による実数論の誤謬の部分の引用です。
−−−−(引用開始)
数学基礎論のゲーデルの不完全性定理の解釈については、色々と哲学的な説明をしている本が出版されていますが、ゲーデルの不完全性定理の証明の中枢はrecursively enumerable(再帰的数え上げ可能性)の概念に基づいています。

結論から先に申しますと、この「再帰的数え上げ可能性」に基づくと、連続実数なるものの数学的存在が証明できなくなります。

例えば、微積分学に於いて、微小差分を0に近付ける極限の概念を
lim の下に ∆x → 0
と書いて表しますが、ここでxはどんな連続実数値でも構わない事に成っています。

つまりどんな連続実数値をもった実数であろうと、必ずその値に無限に接近する事が出来る事を前提にしてしまっています。

ところで、果たして本当に必ず如何なる連続実数値にも無限に接近する事が出来るのでしょうか?

例えば、root (5) = 2.2360679…. に最も近い実数をxとします。このxに∆x → 0のように、無限に接近する事は可能ですか?

答は当然「否」ですね。

つ まり有理数でないから、循環小数ではなく、つまり再帰的数え上げ可能でなく、小数点以下で数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中のどれが次に出 て来るかは、予測が付かない問題が生じます。x軸の数直線上には所狭しとゴッチャ混ぜに“連続実数”なるものが犇(ひし)めき合っているので、連続実数に は附番することが出来ない分けです。

ゲーデルはこのように「無限」の概念をもっと厳密に扱わねばならない事を数学会に厳重に警告している のであって、ゲーデルの不完全性定理に基づき、連続実数なる数は存在証明が出来ない事となり、連続実数なる数は数学者の頭の中にだけ有って、実際の数学の 世界には存在しない数という事となります。

依って更に、この存在しない連続実数に基づいて築かれた確率論と微積分学とは、色々数学分野が有る中で、誤った数学分野という事になります。

その結果更に、この誤った数学の確率論と微積分を大幅に取り入れたカッコ付「正統派」現代物理学や経済学が、大混乱の誤謬“科学”に陥るのは理の当然となります。
----(引用終了)
・・・ はあ、疲れた。